fizica

0

timp imaginar

Posted at January 29, 2012 // caietul cu notite, fizica

In urma publicarii pe fb a unei mici glumite, pe care o redau — pentru amuzament — mai jos, dar si urmare a unei mici discutii privind existenta numerelor imaginare, mi-am adus aminte de un concept despre care am citit prima data intr-o carte a lui Stephen Hawking intitulata A brief history of time. Este vorba de timpul imaginar.

Dar mai intai glumita:

“i” arguing with “pi”
i: be rational!
pi: get real..

rad efectiv de fiecare data ;) Mda, imi place mai mult de pi decat de i. In liceu incercam sa tin minte cat mai multe zecimale ale lui pi (acum imi mai aduc aminte cam 10. sau 11. sau 12. depinde cat de mult ma stradui). Niciodata nu am avut o memorie grozava. Inainte stiam totusi ceva mai multe. Ulterior am gasit pe net ca sunt si intreceri, cine scrie corect cat mai multe zecimale.. crazy (and boring, after 21st decimal i might say). Sa nu-l uitam insa si pe e, care potentat de cele doua se leaga in cea mai eleganta formula matematica (e^{i\pi}+1=0), identitatea lui Euler. Raman insa la pi, il prefer poate si pentru ca nepoata mea e nascuta in “pi day” Martie, 14 ;)

Revenind la timpul imaginar (t’ = it adica t inmultit cu i), acesta e un concept nu foarte intuitiv (eu nu l-am digerat foarte bine) care pare sa raspunda cumva si la intrebarea “Inainte de Big Bang ce a existat?”. Nimic, nimic? Nici spatiu, nici timp, doar o.. incremenita inexistenta? Atunci ce facea Dumnezeu inainte de momentul creatiei? SH spunea in gluma, “poate pregatea Iadul pentru cei care pun asfel de intrebari” :d

Inainte de folosirea conceptului de timp imaginar, asa cum era aplicata integrala de drum (cred ca asa e tradus in romana path integral) asupra evolutiei universului (integrala care practic aduna matematic toate caile/ drumurile/ istoriile/ evolutiile posibile ale universului, oricat de absurde ar putea fi unele dintre acestea) rezulta ca universul s-a creat dintr-o singularitate (ne putem imagina o palnie care contine singularitatea in partea cea mai subtire a palniei si care apoi se largeste pe moment ce timpul incepe sa curga si universul sa se expandeze). Observational, asa pare. Universul este si acum intr-o etapa inflationista (de la observatiile lui Hubble care a vazut cu uimire ca toate galaxiile se departeaza una de cealalta cu viteze accelerate) ceea ce ne face sa credem ca la un moment dat, in trecut, au fost mult mai apropiate intre ele si poate ca (de ce nu?) au pornit dintr-un singur punct comun, adica acea singularitate.

Asa pare a fi, acest model explica ceea ce vedem acum. Dar inainte? Desi e un nonsens sa vorbim de timp atata vreme cat timpul, asa cum il stim, il intelegem si il percepem noi nu exista inca. Era o mare incremenire cum spuneam mai sus. Ce era inainte? Si cum s-a creat acel punct unic (de infinita energie), acea singularitate?

Aceasta teorie a fost destul de repede imbratisata de Biserica, pentru ca, nu-i asa, justifica perfect nevoia unei interventii divine care sa creeze totul din nimic si care apoi sa porneasca masinaria.

Fizicienii nu prea cred insa in interventii divine (desi unii nu elimina complet aceasta varianta, multe controverse pe acest subiect existand) asadar au cautat o solutie matematica. SH s-a gandit sa aplice integrala de drum asupra istoriilor posibile ale universului folosind timpul imaginar, graficul functiei nemaiavand un singur punct de inceput, acel .. “capat de drum” (asa cum pare, privind in urma pe axa timpului real, pana la zero sa spunem).

Pentru vizualizare:

sau daca vrem sa evidentiem toate istoriile posibile (in sensul de evolutie) ale universului (care sunt adunate pentru a da istoria finala, cea pe care o observam si o traim acum):

Pe acest model, singularitatea de la inceput dispare, nu mai exista un capat de drum, este doar un punct situat in spatiu (timpul imaginar fiind in fapt considerat a fi o componenta spatiala) asa cum si Polul Nord nu este “capatul Pamantului”.

Asta nu inseamna ca timpul real, cel pe care il percepem noi nu a avut efectiv un inceput. Inainte de Big Bang, timpul nostru, cel real, nu exista. Nici universul nostru asa cum ni-l imaginam. Atunci ce exista inainte?

Exista timpul imaginar in care exista un univers pe care inca nu putem sa ni-l imaginam ;)

Si atunci, daca timpul imaginar exista inaintea timpului real, aflandu-se asadar la baza, poate acesta este in fapt timpul real (fundamental) iar timpul nostru este unul imaginar (iluzoriu si vremelnic)..

Pentru ca, sa nu facem o confuzie, timpul imaginar este un concept real, matematic (i inmultit cu t) si nu are nici o legatura cu perspectiva mentala de.. inchipuire.

0

Quantum Levitation

Posted at October 18, 2011 // fizica

1

Cum a ajuns Einstein la E=MC2?

Posted at April 25, 2011 // fizica

Raspunsul scurt: din intamplare (insa tot geniu ramane).

Raspunsul nu atat de scurt (dar nici complicat, matematica de liceu fiind indeajuns):

Einstein a pornit de la principiul relativitatii enuntat de Galileo cum ca legile fizicii sunt aceleasi intr-un sistem aflat in repaus cat si daca acesta este in miscare constanta (sistem inertial, fara acceleratie) si l-a extins afirmand ca legile fizicii sunt aceleasi in orice sistem inertial, oricare ar fi acesta.

Principiul lui Galileo este foarte usor de inteles daca ne gandim ca cineva joaca Darts in birou la job (eu nu am Darts) sau daca joaca acelasi lucru intr-un avion aflat in zbor (daca are viteza constanta, nici n-ar putea sa-si dea seama daca e in miscare sau nu, iar sagetile le-ar arunca fix la fel; in lipsa acceleratiei, in interiorul avionului, totul functioneaza la fel ca atunci cand avionul nu este in miscare).

Simplu ce a facut Einstein, nu? La fel de simpla este si urmatoarea chestiune: la vremea aceea, Maxwell stabilise deja ecuatiile care descriau campul electric si campul magnetic si care stabileau ca acea constanta cu valoare foarte mare — care tot aparea in formule — era in fapt viteza luminii (in cazul concret al formulelor sale reprezenta viteza cu care se deplasau undele). Astfel, Einstein a presupus ca in mod normal si aceste legi trebuie sa fie respectate, indiferent de sistemul inertial, la fel ca legile Newtoniene. Cum insa viteza luminii se stabilise ca e o constanta, pentru a se respecta legile lui Maxwell in sistemele inertiale, rezulta ca musai valoarea constantei trebuie sa ramana.. aceeasi.

Si iata teoria relativitatii restranse enuntate de Einstein: Legile fizicii sunt aceleasi in orice sistem inertial, iar viteza luminii are aceeasi valoare in aceste sisteme inertiale. Surprinzator, dar da, aceasta este relativitatea restransa.

Okay, dar niste formule?

Sa le luam pe rand: in relativitatea Galileana, un vector aflat intr-un sistem cartezian (x,y,z) are lungimea ||x,y,z|| iar ||x,y,z||^2=x^2+y^2+z^2.

Einstein considera ca un sistem nu se misca doar in spatiu (x,y,z) ci si in timp (x,y,z,t) astfel ca ||x,y,z,t||^2=x^2+y^2+z^2-c^2t^2 (termenul c^2t^2 este raza la patrat a sferei “formata” de propagarea evenimentului in toate directiile cu viteza c intr-un timp t; este foarte simplu de explicat termenul ||x,y,z,t||^2; poate revin intr-un post ulterior). A propos, acest vector este asa numitul spatiu-timp (da, acel concept sexy din filmele SF).

Bun. Tot in relativitatea Galileana, vectorul vitezei este dat de variatia distantelor, functie de timp, adica exprimand in derivate \vec{v}=(\frac{\partial x}{\partial t},\frac{\partial y}{\partial t},\frac{\partial z}{\partial t}) . In relativitatea lui Einstein insa, nu e vorba doar de diferente de distanta ci si de timp (diferenta de timp intre doua evenimente de pilda), asadar Einstein a creat conceptul de timp propriu \tau tau al sistemului aflat in miscare.

Astfel, o mai buna definitie a vitezei este \vec{v'}=(\frac{\partial x}{\partial \tau},\frac{\partial y}{\partial \tau},\frac{\partial z}{\partial \tau},\frac{\partial t}{\partial \tau}) , care arata nu doar cat de repede se misca un sistem in spatiu, ci si cat de repede si misca in timp.

Acum, sa notam cu gamma \frac{\partial t}{\partial \tau}=\gamma (intuitiv inseamna cat de repede se scurge timpul din afara sistemului fata de cel din sistemul in cauza)

Daca scriem (\frac{\partial t}{\partial \tau}\frac{\partial x}{\partial t},\frac{\partial t}{\partial \tau}\frac{\partial y}{\partial t},\frac{\partial t}{\partial \tau}\frac{\partial z}{\partial t},\frac{\partial t}{\partial \tau}) obtinem (\gamma\frac{\partial x}{\partial t},\gamma\frac{\partial y}{\partial t},\gamma\frac{\partial z}{\partial t},\gamma)=(\gamma\vec{v},\gamma)

Asadar, vectorul spatiu-timp a fost rescris ca fiind (\gamma\vec{v},\gamma) dar in acelasi timp stim ca intervalul unui vector spatiu timp este definit de s^2=r^2-c^2t^2 (r fiind componenta spatiala iar t cea temporala), prin urmare ||\gamma\vec{v},\gamma||^2=\gamma^2v^2-c^2\gamma^2=\gamma^2(v^2-c^2)

In fizica gamma mai poate fi scris (folosind transformarile Lorentz) ca \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} si se mai numeste factorul Lorentz

Legand de ce am spus imediat mai sus ||\gamma\vec{v},\gamma||^2=\gamma^2(v^2-c^2)=\frac{v^2-c^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}=c^2\frac{v^2-c^2}{c^2-v^2}=-c^2

Asta arata de pilda ca intervalul spatiu-timp nu depinde cu nimic de viteza v a sistemului.

Sa mergem mai departe. Einstein, stiind ca impulsul (P=mv) se conserva a inmultit in stanga si dreapta cu m^2 obtinand m^2||\gamma\vec{v},\gamma||^2=-m^2c^2 sau ||\gamma m\vec{v},\gamma m||^2=-m^2c^2. Folosind aceeasi ecuatie pentru intervalele spatiu-timp, unde \gamma m\vec{v} este factorul spatial (componenta de momentum adica \vec{P}=\gamma m\vec{v}) si \gamma m este cel temporal, obtinem \left(\gamma mv\right)^2-\left(\gamma mc\right)^2=-m^2c^2 adica P^2-\left(\gamma mc\right)^2=-m^2c^2

Iar asta este o ecuatie foarte interesanta pentru ca mc se conserva, la fel si P, ceea ce inseamna ca si termenul, \left(\gamma mc\right), orice ar insemna el, de asemenea se conserva.

Vrand sa-si clarifice despre ce este vorba, Einsten a transformat din nou termenul \gamma mc, inlocuind-ul pe \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} adica \gamma mc=\frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Facand o transformare polinomiala Taylor a obtinut:
\gamma mc=\frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=mc\left[1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}\cdots \right]=mc+\frac{1}{2}m\frac{v^2}{c}+\frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^3}\cdots

Vazand ca al doilea termen este formula energiei cinetice \frac{1}{2}mv^2 impartita la c, Einstein este lovit de geniu ;) si-si pune intrebarea: “este posibil ca toata povestea asta sa reprezinte intreaga energie a sistemului impartita la c“? Adica E=\gamma mc^2=mc^2+\frac{1}{2}mv^2+\frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^2}\cdots ?

Hoooly Moooly, da! Einsten deduce ca Energia totala a unui obiect cu masa m, este energia cinetica (al doilea termen) plus energia de repaus (primul termen) plus o alta energie (termenul 3), plus alte energii (conform sirului Taylor) aceastea din urma fiind insa insignifiante la viteze v mici in comparatie cu c.

Rezulta ca un corp cu masa m aflat in repaus (v=0) are o energie intrinseca (una URIASA) data de formula E=mc^2 wow! masa fiind o alta forma a energiei. Iata ce spunea Einstein (audio)