Cum a ajuns Einstein la E=MC2?» 

Raspunsul scurt: din intamplare (insa tot geniu ramane).

Raspunsul nu atat de scurt (dar nici complicat, matematica de liceu fiind indeajuns):

Einstein a pornit de la principiul relativitatii enuntat de Galileo cum ca legile fizicii sunt aceleasi intr-un sistem aflat in repaus cat si daca acesta este in miscare constanta (sistem inertial, fara acceleratie) si l-a extins afirmand ca legile fizicii sunt aceleasi in orice sistem inertial, oricare ar fi acesta.

Principiul lui Galileo este foarte usor de inteles daca ne gandim ca cineva joaca Darts in birou la job (eu nu am Darts) sau daca joaca acelasi lucru intr-un avion aflat in zbor (daca are viteza constanta, nici n-ar putea sa-si dea seama daca e in miscare sau nu, iar sagetile le-ar arunca fix la fel; in lipsa acceleratiei, in interiorul avionului, totul functioneaza la fel ca atunci cand avionul nu este in miscare).

Simplu ce a facut Einstein, nu? La fel de simpla este si urmatoarea chestiune: la vremea aceea, Maxwell stabilise deja ecuatiile care descriau campul electric si campul magnetic si care stabileau ca acea constanta cu valoare foarte mare — care tot aparea in formule — era in fapt viteza luminii (in cazul concret al formulelor sale reprezenta viteza cu care se deplasau undele). Astfel, Einstein a presupus ca in mod normal si aceste legi trebuie sa fie respectate, indiferent de sistemul inertial, la fel ca legile Newtoniene. Cum insa viteza luminii se stabilise ca e o constanta, pentru a se respecta legile lui Maxwell in sistemele inertiale, rezulta ca musai valoarea constantei trebuie sa ramana.. aceeasi.

Si iata teoria relativitatii restranse enuntate de Einstein: Legile fizicii sunt aceleasi in orice sistem inertial, iar viteza luminii are aceeasi valoare in aceste sisteme inertiale. Surprinzator, dar da, aceasta este relativitatea restransa.

Okay, dar niste formule?

Sa le luam pe rand: in relativitatea Galileana, un vector aflat intr-un sistem cartezian (x,y,z) are lungimea ||x,y,z|| iar ||x,y,z||^2=x^2+y^2+z^2.

Einstein considera ca un sistem nu se misca doar in spatiu (x,y,z) ci si in timp (x,y,z,t) astfel ca ||x,y,z,t||^2=x^2+y^2+z^2-c^2t^2 (termenul c^2t^2 este raza la patrat a sferei “formata” de propagarea evenimentului in toate directiile cu viteza c intr-un timp t; este foarte simplu de explicat termenul ||x,y,z,t||^2; poate revin intr-un post ulterior). A propos, acest vector este asa numitul spatiu-timp (da, acel concept sexy din filmele SF).

Bun. Tot in relativitatea Galileana, vectorul vitezei este dat de variatia distantelor, functie de timp, adica exprimand in derivate \vec{v}=(\frac{\partial x}{\partial t},\frac{\partial y}{\partial t},\frac{\partial z}{\partial t}) . In relativitatea lui Einstein insa, nu e vorba doar de diferente de distanta ci si de timp (diferenta de timp intre doua evenimente de pilda), asadar Einstein a creat conceptul de timp propriu \tau tau al sistemului aflat in miscare.

Astfel, o mai buna definitie a vitezei este \vec{v'}=(\frac{\partial x}{\partial \tau},\frac{\partial y}{\partial \tau},\frac{\partial z}{\partial \tau},\frac{\partial t}{\partial \tau}) , care arata nu doar cat de repede se misca un sistem in spatiu, ci si cat de repede si misca in timp.

Acum, sa notam cu gamma \frac{\partial t}{\partial \tau}=\gamma (intuitiv inseamna cat de repede se scurge timpul din afara sistemului fata de cel din sistemul in cauza)

Daca scriem (\frac{\partial t}{\partial \tau}\frac{\partial x}{\partial t},\frac{\partial t}{\partial \tau}\frac{\partial y}{\partial t},\frac{\partial t}{\partial \tau}\frac{\partial z}{\partial t},\frac{\partial t}{\partial \tau}) obtinem (\gamma\frac{\partial x}{\partial t},\gamma\frac{\partial y}{\partial t},\gamma\frac{\partial z}{\partial t},\gamma)=(\gamma\vec{v},\gamma)

Asadar, vectorul spatiu-timp a fost rescris ca fiind (\gamma\vec{v},\gamma) dar in acelasi timp stim ca intervalul unui vector spatiu timp este definit de s^2=r^2-c^2t^2 (r fiind componenta spatiala iar t cea temporala), prin urmare ||\gamma\vec{v},\gamma||^2=\gamma^2v^2-c^2\gamma^2=\gamma^2(v^2-c^2)

In fizica gamma mai poate fi scris (folosind transformarile Lorentz) ca \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} si se mai numeste factorul Lorentz

Legand de ce am spus imediat mai sus ||\gamma\vec{v},\gamma||^2=\gamma^2(v^2-c^2)=\frac{v^2-c^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}=c^2\frac{v^2-c^2}{c^2-v^2}=-c^2

Asta arata de pilda ca intervalul spatiu-timp nu depinde cu nimic de viteza v a sistemului.

Sa mergem mai departe. Einstein, stiind ca impulsul (P=mv) se conserva a inmultit in stanga si dreapta cu m^2 obtinand m^2||\gamma\vec{v},\gamma||^2=-m^2c^2 sau ||\gamma m\vec{v},\gamma m||^2=-m^2c^2. Folosind aceeasi ecuatie pentru intervalele spatiu-timp, unde \gamma m\vec{v} este factorul spatial (componenta de momentum adica \vec{P}=\gamma m\vec{v}) si \gamma m este cel temporal, obtinem \left(\gamma mv\right)^2-\left(\gamma mc\right)^2=-m^2c^2 adica P^2-\left(\gamma mc\right)^2=-m^2c^2

Iar asta este o ecuatie foarte interesanta pentru ca mc se conserva, la fel si P, ceea ce inseamna ca si termenul, \left(\gamma mc\right), orice ar insemna el, de asemenea se conserva.

Vrand sa-si clarifice despre ce este vorba, Einsten a transformat din nou termenul \gamma mc, inlocuind-ul pe \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} adica \gamma mc=\frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Facand o transformare polinomiala Taylor a obtinut:
\gamma mc=\frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=mc\left[1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}\cdots \right]=mc+\frac{1}{2}m\frac{v^2}{c}+\frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^3}\cdots

Vazand ca al doilea termen este formula energiei cinetice \frac{1}{2}mv^2 impartita la c, Einstein este lovit de geniu 😉 si-si pune intrebarea: “este posibil ca toata povestea asta sa reprezinte intreaga energie a sistemului impartita la c“? Adica E=\gamma mc^2=mc^2+\frac{1}{2}mv^2+\frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^2}\cdots ?

Hoooly Moooly, da! Einsten deduce ca Energia totala a unui obiect cu masa m, este energia cinetica (al doilea termen) plus energia de repaus (primul termen) plus o alta energie (termenul 3), plus alte energii (conform sirului Taylor) aceastea din urma fiind insa insignifiante la viteze v mici in comparatie cu c.

Rezulta ca un corp cu masa m aflat in repaus (v=0) are o energie intrinseca (una URIASA) data de formula E=mc^2 wow! masa fiind o alta forma a energiei. Iata ce spunea Einstein (audio)

One Comment

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

4 × 4 =